الگوریتم امروز

وبلاگ تخصصی الگوریتم

الگوریتم امروز

وبلاگ تخصصی الگوریتم

وبلاگ علمی و مخصوص مباحث الگوریتمی است.
نظر خصوصی نگذارید چون جواب نمی‌دهم نظر عمومی بگذارید بدون نام هم که باشد همانجا جواب می‌دهم.

بایگانی

۶۲ مطلب با موضوع «الگوریتم تصادفی» ثبت شده است

(مرجع http://www.cs.cmu.edu/afs/cs.cmu.edu/academic/class/15750-s02/www/ )

۰ نظر موافقین ۰ مخالفین ۰ ۲۷ دی ۹۲ ، ۱۰:۴۷
سپیده آقاملائی

حل:

تقارن ندارد و احتمالها یکنواخت هم نیستند، پس حالت خاص نیست. با matlab حساب کردم این شد: 

>> P^33


ans =


    0.2346    0.3048    0.2631    0.1975

    0.2346    0.3048    0.2631    0.1975

    0.2346    0.3048    0.2631    0.1975

    0.2346    0.3048    0.2631    0.1975

جوابش همون طور که می بینید همه ی سطرهاش مساویند.

حل:

راه حل دوم: با رسم گراف آن می بینیم که احتمال تغییر وضعیت 1-p و احتمال ماندن در هر وضعیت p است.



حل:

با یک random walk گراف را رنگ می کنیم. راس اولی که در آن هستیم، قرمز می کنیم و راس بعدی را آبی و ادامه می دهیم. (بقیه اش سخت بود راه حل رو بخونید:)

جواب
حجم: 282 کیلوبایت

مرجع: http://www.cs.cmu.edu/afs/cs.cmu.edu/academic/class/15750-s02/www/sol7.ps

۰ نظر موافقین ۰ مخالفین ۰ ۲۷ دی ۹۲ ، ۰۹:۳۶
سپیده آقاملائی

۰ نظر موافقین ۰ مخالفین ۰ ۲۷ دی ۹۲ ، ۰۹:۲۴
سپیده آقاملائی

1- یک تاس n وجهی داریم که احتمال آمدن هر وجه آن pi است. ثابت کنید آنتروپی آن وقتی ماکسیمم است که pi=1/n باشد.

H(X) = sum(H(Xi))

طبق نامساوی حسابی هندسی (مثلا) مجموع وقتی ماکسیمم می شود که همه با هم برابر باشند.

i,j: H(Xi) = H(Xj) ==> pi = pj = 1/n

2- 

فرض می کنیم یک سکه با احتمال q داریم و می خواهیم اعداد n بیتی بسازیم.

دو به توان آنتروپی n بار پرتاب سکه:

2^(n*H(q)) = q^nq * (1-q)^n(1-q)

چیزی که باید ثابت کنیم این است:

C(n,nq) >= q^nq * (1-q)^(n-nq) / ( 2*sqrt(n) )

از باز کردن سمت چپ استفاده می کنیم:

C(n,nq) = n!/ ( (nq)! (n-nq)! )

طبق فرمول استرلینگ داریم:

n! > sqrt(2*pi*n)*(n/e)^n

1/n! > 1/ ( sqrt(2*pi*n) * (n/e)^n * e^1/(12n) )

به جای صورت و مخرج از فرمولهای بالا جایگذاری می کنیم و ساده می کنیم.

جمله ی (n/e)^n را هم به دو جمله با توانهای nq و n-nq می شکنیم:

C(n,nq) >= (e^1/12n) / ( q^-nq * (1-q)^-n(1-q) * e^(1/12nq+1/12(n-nq) )

C(n,nq) >= 2^nH(q)

پس کافی است ثابت کنیم:

e^ (1/12n-1/12nq-1/12(n-nq) ) >= 1/ (2*sqrt(n) )

ساده می کنیم:

1/12n-1/12nq-1/12(n-nq) = 1/(12n) * ( 1-1/q-1/(1-q) )

1/ ( 2*sqrt(n) ) = 1/2* n^-1/2

نامساوی حسابی هندسی:

1/q+1/(1-q) = 1/( q*(1-q) ) >= 4

1-1/q-1/(1-q) <= -3

e^ (1/12n-1/12nq-1/12(n-nq) ) >= e^-3*(1/12n) = e^-1/(4n)

یعنی باید ثابت کنیم

e^ -1/(4n) >= 1/ (2*sqrt(n) )

e^-1/(4n) = (1/e)^1/(4n) >= (1/2)^1/(4n) >= 

۰ نظر موافقین ۰ مخالفین ۰ ۲۶ دی ۹۲ ، ۱۷:۴۱
سپیده آقاملائی

من فکر کردم همین نامساوی اجتماع چندتا پیشامد کمتر از جمع احتمال تک تکشونه خوبه براش!

۰ نظر موافقین ۰ مخالفین ۰ ۲۶ دی ۹۲ ، ۱۷:۱۲
سپیده آقاملائی

باید تقریب رو از روی نمونه گیری به روی تعداد نمونه ها ببریم. (با به دست آوردن رابطه ی بین دقت نمونه گیری و تعداد تکرارهای اون)

۰ نظر موافقین ۰ مخالفین ۰ ۲۶ دی ۹۲ ، ۱۰:۱۹
سپیده آقاملائی
از این استفاده می کنیم که زمان متوسطی که فرض کردیم در واقع cover time گراف است یعنی همه ی راسها دیده می شوند.
۰ نظر موافقین ۰ مخالفین ۰ ۲۶ دی ۹۲ ، ۰۸:۰۰
سپیده آقاملائی

1- چطور ثابت کنیم قدم زدن تصادفی را می شود در زمان کمتری انجام داد؟

2- تقریب اپسیلون و دلتا برای یک نمونه گیری تصادفی را چطور ثابت کنیم؟ (تعداد نمونه گیری ها را به دست بیاوریم)

3- چطور می توانیم از نامساوی چرنف استفاده کنیم، برای متغیرهای نامستقل (وابسته)؟

4- نمونه سوال آنتروپی؟

۰ نظر موافقین ۰ مخالفین ۰ ۲۶ دی ۹۲ ، ۰۷:۵۲
سپیده آقاملائی

مثال: (ادامه سوال independent set های گراف)

۰ نظر موافقین ۰ مخالفین ۰ ۲۵ دی ۹۲ ، ۱۱:۵۶
سپیده آقاملائی

۰ نظر موافقین ۰ مخالفین ۰ ۲۵ دی ۹۲ ، ۱۱:۳۷
سپیده آقاملائی