توپ و ظرف

احتمال اینکه هیچ سطلی خالی نماند:
http://math.stackexchange.com/questions/174674/if-n-balls-are-thrown-into-k-bins-what-is-the-probability-that-every-bin-gets-a
اگر تعداد توپ‌ها بیشتر از ظرف‌ها باشد به مسئله‌ی روز تولد مشهور است (من تا الآن فرق این دو تا را نمی‌دانستم). این را نوشته که با اصل شمول و عدم شمول ثابت می‌شود:
https://en.wikipedia.org/wiki/Birthday_problem
حالا اصلاً چیزی که من می‌خواستم حساب کنم این بود که حداکثر چند تا توپ می‌توانم بندازم که با احتمال بالایی تداخل نداشته باشند؟
با احتمال یک ان-ام در هر سطلی می‌افتند، پس با احتمال یک ان‌-ام به توان ۲ دو تا در یک سطل می‌افتند. بعد با اصل شمول و عدم شمول می‌شود نوشت. می‌شود یک به علاوه‌ی یک ان-ام کلش به توان k، منهای ۱. این احتمال این است که حداقل دو تا در یک سطل بیفتند، پس احتمال اینکه هیچ دوتایی در یک سطل نیفتند یک منهای این می‌شود.

2-(1+1/n)^k <= 1/n

2 <= (1+1/n)^k+1/n

که برای k=n که برقراره (همون e) ولی برای کمترش هم فکر نکنم بشه چون تقریبش 1+k/n می‌شود که با خود یک ان‌-ام عبارت سمت راست به ازای n=k-1 می‌شود ۲.