کتاب هارپلد (فصل ۲)

نسبت قطر به عرض نقاط را گستره نقاط می‌نامیم. عمق درخت چهارتایی در حالت عادی از مرتبه لگاریتمی نسبت به گستره نقاط است. برای اثبات آن از این کمک می‌گیریم که تقسیم شدن خانه‌ها تا جایی انجام می‌شود که هر خانه حداکثر یک نقطه داشته باشد پس پایان الگوریتم جایی است که عرض نقاط را تقسیم می‌کنیم و شروع هم جایی است که قطر نقاط هست (کوچکترین مربع محیطی). از اینجا ارتفاع درخت لگاریتم گستره نقاط به دست می‌آید.

زمان ساخت درخت از اینجا n log phi به دست می‌آید. (phi = نسبت قطر به عرض)

درخت فشرده

برای رسیدن به زمان لگاریتمی بر حسب n باید از مسأله فصل قبل استفاده کنیم و توری مناسب را بسازیم. با این کار اندازه خانه‌ای که باید نقاط را بر حسب آن به دو قسمت تقسیم کنیم به دست می‌آید. ثابت می‌شود که این تقسیم نقاط را تقریبا نصف می‌کند.

*درخت چهارتایی فشرده برای مکان یابی نقطه

جستجوی دودویی روی عمق درخت

*